Q's Calc の arctan アルゴリズム

「#Calc 1.1.4 その 7」の続き。

Q's Calc のソースを覗いて、逆正接の計算をどうやっているのか見てみた。逆正接の計算を逆双曲線正接の計算に帰着させているようだが、理屈がよく分からん。

以下はその擬似コード:

1. a = ulp
2. b = x / (1 + √(1 + x²))
3. c = 1
4. do {
   1. c = 2 c / (1 + a)
   2. d = 2 a b / (1 + b²)
   3. d = d / (1 + √(1 - d²))
   4. d = (b + d) / (1 - b d)
   5. b = d / (1 + √(1 + d²))
   6. a = 2 √a / (1 + a)
   } while (1 > a)
5. tan^-1(x) = c log((1 + b) / (1 - b)) (= 2 c tanh^-1(b))