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2007年2月 6日 (火)

分数の比較の工夫

分数 (有理数) の大小関係を比較する際、通分せずに済ますやり方について。(#Calc の実装に基づくメモ)

例えば二つの分数 a/bc/d を比較するには、a × db × c を比較すればよい。しかし、この方法では比較の前に二回の掛け算が必要となる。掛け算を行わずに大小関係を求めることはできないのだろうか。

どんな場合でも掛け算をやらずに大小を比較する、ということは無理だろう。しかし、いくつかの場合においては掛け算をやらなくても大小関係を求めることができる。

まず、二つの分数の符号が違う場合、つまり、片方がマイナスでもう片方がプラスの場合だ。この場合は明らかに、マイナスの方が小さい。

次に、両者の分母が等しい場合、つまり、b = d の場合。この場合は、二つの分数が既に通分された状態なので、単に分子どうしの大小を比較すればよい。(ただし、ここで分母の符号がマイナスのときは大小関係が逆転するので注意を要する)

さらに、両者の分子が等しい場合、つまり、a = c の場合。この場合は分母どうしを比較すればよい。分母が小さくなるほど分数自体は大きくなることに注意。分子・分母の符号がマイナスならばさらに大小関係は逆転する。

では、分子も分母も等しくないときはどうか。分子どうしの大小関係と分母どうしの大小関係が逆転しているならば、それから分数の大小関係もわかる。例えば、p = 5/8 と q = 4/9 を比べてみよう。分子どうしを比較すると 5 > 4 で p の分子のほうが大きく、分母どうしを比較すると 8 < 9 で q の分母の方が大きい。「分子が大きいほど分数自体も大きい」「分母が大きくなると分数自体は小さくなる」という二つの事実を思い起こすと、p の方が大きいことがわかる。(ただしここでも符号によって大小関係が逆転する可能性があるので注意)

これでもまだ分数の大小関係がわからないときはどうするか。残念ながら、もうこれ以上工夫の余地はなさそうだ。分数を通分して大小関係を比較しよう。

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