三角関数・双曲線関数の逆関数 その 4
半年前には log((1 + x) / (1 - x)) / 2 が (log(1 + x) - log(1 - x)) / 2 と一致するとか書いたのだが、これは嘘だ。引数が 1 より大きな実数のとき虚部が一致しない。はぁ……。
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2007年3月14日 (水)
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コメント
複素数 z に対し, log z = log |z| + i arg z ですが, arg z が多価関数なので log z も多価関数です。従って,
計算方法により 2 i \pi の整数倍だけ値が異なってきます。
計算機のプログラムを作るときには, その虚部 y の範囲を
0 <= y < 2\pi にするか, -\pi < y <= \pi にするか,
決めておかないといけません。計算結果がこの範囲を超えたら, 2 i \pi の整数倍だけ加減して調整すればよいのです。
投稿： 安藤哲哉 | 2007年3月22日 (木) 14時12分
あ、ごめんなさい。この話は log の虚部の値を常に (-π, π] の中から一意に取るという前提で、二つの式が完全に一致するかどうかという話なんです。どんな複素数 x に対しても上の二つの式が等しくなるとおもっていたら実はそうではなかったという話です。
おっしゃるとおり、虚部が等しくならないのは偏角が一周期分ずれているからですが、それはわかっています。
投稿： まじかんと | 2007年3月22日 (木) 14時53分